Mátrixok, determinánsok, rendszerek lineáris egyenletek
Határozott mátrix. TÍPUSÚ MATRIX
Mátrix mérete m × n a halmaza m · n számok elrendezett négyszögletes tömb m sorból és n oszlopból. Ez a tábla általában zárójelbe téve. Például, a mátrix lehet:
A rövidség kedvéért, a mátrix lehet jelöljük egyetlen nagybetűvel, mint az A vagy B
Általában, a mátrix mérete m × n írva, mint
A számok teszik ki a tömb, az úgynevezett mátrix elemeinek. A mátrix elemei kényelmes ellátására két index aij. Az első azt jelzi a sor számát, a második - az oszlop számát. Például, A23 - elem a 2. sor, 3. oszlop.
Ha a sorok számát a tömb megegyezik az oszlopok számát, a négyzetes mátrix nevezzük. Ezen túlmenően a számát a sorok vagy oszlopok a mátrix nevezzük sorrendben. A fenti példák négyzet második mátrix - annak érdekében, egyenlő 3, és a negyedik mátrix - annak eljárás 1.
A mátrix, amelyben a sorok száma nem egyenlő az oszlopok száma, az úgynevezett téglalap alakú. A példákban, ez az első és a harmadik mátrix.
Is különböznek mátrixok, amelynek csak egy sor vagy egy oszlop.
A mátrix, amely csak egy sor, az úgynevezett mátrix - sorban (vagy string), és a mátrix, amelyben csak az egyik oszlop mátrix - oszlop.
Mátrix, amelynek elemei csupa nullával egyenlő az úgynevezett zéró és jelöljük (0), vagy 0. Például,
A fő diagonális négyzetes mátrix lesz az úgynevezett átlós a bal felső a jobb alsó sarokban.
Egy négyzetes mátrix, amelyben az összes elem alatt fekvő fő átló nulla, az úgynevezett háromszögmátrix.
Egy négyzetes mátrix, amelyben az összes elem, kivéve talán állt a fő diagonális nulla, az úgynevezett diagonális mátrix. Például ,, vagy.
A diagonális mátrix, amelynek diagonáiis elemeit mind egyenlő egységet nevezzük azonosító mátrix, és jelöli a levél E. Például, egy egységet mátrixot érdekében 3 a formája.
ACTION mátrixok
Az egyenlő mátrixok. Két A és B mátrix nevezzük megegyezik, ha azonos számú sorok és oszlopok, valamint azok az elemek aij = bij. Így, ha u, akkor A = B Ha a11 = b11. A12 = b12. A21 = b21 és A22 = B22.
Átültetés. Tekintsünk egy tetszőleges mátrix m sorból és n oszlopból. Akkor társult egy mátrixot B m sorból és n oszlopból, amelyben minden sorban az A mátrix az oszlopot az azonos számú (és ezért, egyes oszlop a sorban a mátrix az azonos számú). Tehát, ha, akkor.
Ez a mátrix a B a transzponált mátrix egy átmenetet A-ból B által átültetés.
Ezért átültetés - a változás szerepét a sorok és oszlopok a mátrix. Mátrix transzponáltját mátrix általában jelöljük A T.
A kommunikáció a mátrix és annak transzponáltja írhatók.
Például. Keresse meg a mátrix átültetésére.
Mátrixok összeadása. Hagyja, hogy a A és B mátrix áll az azonos számú sort és azonos számú oszlopok, azaz azonos méretűek legyenek. Akkor, annak érdekében, hogy meghatározza a mátrix és B kell hozzá a mátrix elemeinek A mátrix elemeinek B. állt ugyanazon a helyen. Így, az összeg a két A és B mátrix a C mátrix által meghatározott szabály, például,
Példák. Keresse meg az összeget mátrixok:
Ez könnyen ellenőrizhető, hogy mátrixok összeadása engedelmeskedik a következő törvények: kommutatív A + B = B + A és asszociatív (A + B) + C = A + (B + C).
Szorzás egy mátrix egy szám. Annak érdekében, hogy szaporodnak a mátrix száma k minden elemére szüksége A mátrix megszorozzuk ezt a számot. Ezért a termék mátrix k a számos új mátrixot, ami által meghatározott szabály vagy.
Bármely a és b számok, és az A és B mátrix az alábbi egyenletek tart:
A C mátrix nem található, mert Mátrix A és B különböző méretűek.
Mátrixszorzással. Ezt a műveletet egy sajátos törvény. Először is vegyük figyelembe, hogy a méret a mátrix-tényezőt kell hangolni. Tud szaporodni csak azokat mátrixok, ahol az oszlopok száma az első mátrix egybeesik a sorok számát a második mátrix (vagyis, az első sor hossza megegyezik a magassága a második oszlop). Egy mátrix terméket a mátrix B nem hívják az új mátrix C = AB. ahol az elemek a következőképpen készítjük:
Így például, hogy megkapja a termék (azaz, a C mátrix) álló elemet az első sor és a 3. oszlop C13. Meg kell az első mátrix, hogy az első sorban, a 2. - 3. oszlop, vonalú elemeket, majd megszorozzuk a megfelelő elemei az oszlopot, és az így kapott terméket hajtogatott. És egyéb elemek a mátrix alkalmazásával kapott terméknek egy hasonló termék egy első mátrix sorok oszlopok a második mátrix.
Általában, ha megszorozzuk a mátrix A = (aij) mérete m × n mátrix B = (bij) n × p. C kapunk egy mátrix mérete m × p. amelynek az elemeit a következőképpen számítjuk ki: CIJ elem kapott mátrix termék elemek i-edik sorának megfelelő elemek j-edik oszlopának B mátrix, és azok mellett.
Ezt a szabályt kell lennie, hogy mindig lehet szorozni két négyzet mátrixok azonos nagyságrendű, ennek eredményeként kapunk egy négyzetes mátrix ugyanabban a sorrendben. Különösen akkor mindig lesz egy négyzetes mátrix szaporodnak is, azaz négyzeten.
Egy másik fontos eset a mátrix szorzás a sorban az oszlop mátrix, egy első szélessége egyenlőnek kell lennie a második magasság, ennek eredményeként kapjuk a mátrixot az elsőrendű (azaz, egyetlen elemet). Tény, hogy
, B · A - nincs értelme.
Így, ezek az egyszerű példák azt mutatják, hogy a mátrixok általában nem közlekedhetnek egymással, azaz A # 8729; B ≠ B # 8729; A. Ezért a szorzás a mátrixok kell, hogy gondosan kövesse a sorrendben a tényezők.
Meg tudja nézni, hogy a mátrix szorzás engedelmeskedik az asszociatív és disztributív törvényi, azaz (AB) C = A (BC) és (A + B) C = AC + BC.
Az is könnyen belátható, hogy ha megszorozva a négyzetes mátrix A jelentése az identitás mátrix E az azonos sorrendben ismét kapjunk mátrixot A. Sőt, AE = EA = A.
Meg kell jegyezni, a következő érdekes tény. Mint ismert termék 2 nulla számok nem egyenlő 0-val A mátrixok nem fordulhat elő, azaz, terméket 2 nem nullmátrixok lehet nullára mátrix.
Például. ha majd
Legyen adott egy másodrendű mátrix - a négyzetes mátrix, amely két sort és két oszlopot.
A meghatározója a másodrendű. ennek megfelelően ez a mátrix, hívott szám a következőképpen állítjuk elő: A11 A22 - a12 a21.
A meghatározó jelöljük.
Így annak érdekében, hogy megtalálják a meghatározója a másodrendű szüksége egy termék elemeinek főátlójában vonjuk ki a terméket az elemek a második átlós.
Példák. Számolja a második azonosító.
Hasonlóképpen, mondhatjuk a mátrix a harmadik rend és a megfelelő meghatározó neki.
Meghatározója a harmadik rend. ennek megfelelően ez a harmadik sorrendben négyzetes mátrix, hívott szám, és nevezzük a következőképpen állítjuk elő:
Így, ez a képlet ad bomlás determináns harmadrendű elemei az első sor A11. a12. a13 és csökkenti a számítás a meghatározója a harmadik kiszámítása érdekében meghatározó a másodrendű.
Példák. Számoljuk ki a meghatározója a harmadik rend.
Hasonlóképpen, tudjuk be a koncepció a meghatározó a negyedik, ötödik, stb megrendelések, csökkentve azok érdekében bomlása az elemek első sorban, a jel „+” és „-” szempontjából alternatív.
Így, ellentétben a mátrix, amely képviseli egy táblázatot a számok determináns egy szám, amely kerül egy bizonyos módon összhangban mátrixban.