Hogyan lehet megtalálni a közepén egy derékszögű háromszög

CENTER párhuzamos erők és tömegközéppont

§ 18. A központ a párhuzamos erők

Adott egy rendszer párhuzamos erők a ponton alkalmazzák-Kah és céljuk ugyanabban az irányban (ábra. 1,32). Egy ilyen rendszer a erők lehet csökkenteni a keletkező. párhuzamos az adott erők és irányított ugyanabba az irányba. Mivel az erő a test teljesen szilárd ötvözet ház, van egy csúszó vektor, a kapott lehet FÜGGELÉK él bárhol a sorban ez-az akció-akció. Levezetjük az egyenes egyenlete az eredője tevékenységének párhuzamos erők.

Szerint Varignon tétel kapott mo-ment, valamennyi tengely algebra-algebrailag összegezni-nek nyomaték képest ez ugyanazon a tengelyen. Tehát-analitikus kifejezések a pillanatok erő képest koordinátatengelyeken, írhatunk:

Jelöljük közötti szögek irányába erő koordinátatengelyeken. és ezen keresztül. és. Ezután a kiemelkedések a koordinátatengelyeken adott erők és azok kapott lesz egyenlő:

Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket (1,9) és (1.10), miután néhány átalakítások megkapjuk

Elosztjuk az egyenlet (1.11) tovább. és (1.12) - on és felváltja. megkapjuk

A lényeg az úgynevezett rendszer központja a párhuzamos erők. Álláspontja ár-tra párhuzamos erők nem függ az irányt erő, de csak a saját értékeit és pontok alkalmazása. A középpont párhuzamos erők, Th-vágott vonalat, amely a kapott vezetőképes-rendszer párhuzamos erők, ADJ-konjugált fix pontot, bármilyen változás fedélzeti ezen erők a tér-stve.

A fenti megfontolások és az eredmények, Tata lesznek érvényesek abban az esetben a rendszer a párhuzamos erők, amelyek azonos hatású, de nem ugyanabban az irányban. Ebben az esetben akkor kell csak tennie az összes képlet az értéket a „plusz”, ha az irányjelző megye ugyanabba az irányba, mint ezt. és a „mínusz” jel az ellenkező SLE-tea.

Három általános képletű (1,14) helyettesíthető egyetlen vektorral képletű

és ahol - a sugár vektorok pontok és a pontok meghatározott alkalmazási párhuzamos erők végeztek a származási.

Valóban, a nyúlvány a sugár vektor bármely pontján a tengelyen. és egyenlő a megfelelő vezetőképes-koordinátáit az a pont (ábra. 1,34). Ezért, megtervezésével a vektor egyenlet (1.15) a koordináta tengelyen, kapjuk képletű (1,14), meghatározzuk a koordinátákat a központ para - párhuzamos erők.

19. § A koncepció egy merev test súlypontja

Ha a test mérete kicsi összehasonlítva a Föld sugara, akkor feltételezhetjük, hogy a gravitációs az összes részecske a szervezetben olyan rendszert alkot, a párhuzamos erők. Úgy hívják az eredő erő a gravitáció. és a központ a párhuzamos erők - a test súlypontja.

A súlypont - az a pont, amelyen keresztül a vonal annak súlyosságától zajlik minden helyzetben a test. A koordináták a súlypont lehet meghatározni a képletek (1,14)

Ha a test homogén. a súlya a részecskék a test arányos annak térfogatával. Ezért az ilyen súlypont koordinátáit egyenlő:

ahol - a mennyisége a szervezetben.

Ha homogén test alakja van egy vékony héj-tol állandója gumiabroncsok, ez lehet tekinteni, mint egy anyag felületén. A tömeg minden elemi terület egy ilyen felület négyzetével arányos az elem. Koordinálja a felületi súlypontja a félig tea

ahol - a felület.

Abban az esetben, síkidom. síkjában fekvő. kell kiszámítani (1,18), és csak a koordinátákat.

Az összegek az úgynevezett statikus pillanat terület rendre képest a tengelyeket és.

A test, amelyben az egyik dimenzióban igen nagy, mint mások (például, egy hosszú cső, huzal, stb) lehet tekinteni, mint egy anyagi vonalon. A tömeg minden eleme egy homogén anyag vonal hosszával arányos az elem. Ebben az esetben, a általános képletű (1.16) formájában

Képlet (1,16) - (1.19) pontosak, szigorúan véve, csak az idő-beat a test végtelen számú végtelen kis részecskéket. Ha a részecskék száma, amelybe mentálisan osztva test vége, az általános esetben, ezek a képletek csak közelítő, mivel a koordinátákat. és ahol a mo-bél csak akkor kell meghatározni pontossággal részecskeméretek. Minél kisebbek a részecskék, annál kisebb a hiba, amely azt fogja tenni a számítás a koordinátáit a súlypont. A pontos kifejezések csak akkor léphet újra Dhul Tate szabályozó folyamat, ha a méret az egyes részecskék felé tendál nulla, és a számuk növekszik végtelenségig. Mint ismeretes, ez a korlát az említett op-meghatározottsága integrál. Ezért a tényleges meghatározását a súlypontok koordináták szervek képletek szerint (1,16) - (1.19) általános esetben a Thr-Buet helyettesítő megfelelő összeget integrálok és alkalmazása az integrálszámítás. Azonban egy biztos: toryh speciális esetekben lehetséges, hogy kezelni és elemi módszereket, amelyeket a későbbiekben majd.

§ 20. Néhány módszerek koordinátáinak meghatározására

Módszer simmetrii.Esli homogén test egy síkban, a tengely vagy központ szimmetria, a test súlypontja rendre a lapos STI ezen a tengelyen, vagy a központban. Például, a súlypont homogén körkúp feküdt a tengelye körül, és a súlypont a homogén gömb - a közepén.

Módszer gruppirovki.Esli test osztható véges számú részre, amelyek mindegyikére a súlypont helyzete ismert, akkor a koordinátáit a súlypont pontosan meghatározható, és, sőt, közvetlenül általános képletű (1,16) - (1,19), amikor nézve ők (vagy ..), és. . rendre mint a tömegre (vagy térfogatra, terület, hosszúság) és a koordináta Nata súlypontok a testrészek.

Ezek a megállapítások mutathatjuk segítségével (1.16). Bebizonyítjuk, hogy mintán, a második közülük. Hagyja, hogy a test osztható alkatrészek minden egyes ko-toryh ismert tömegű és koordinátákat. . súlypontja. . Mi osztott az egyes összegeket. . képletekben (1,16) szempontjából, amelyek mindegyike közös csak az egyik rész, amelyre az osztva testet. Például,

De szerint az első képlet (1,16)

Ez az egyenlet elég pontos a elhaladó a bal oldalon, hogy a korlát (határozott integrál); míg a jobb oldalon van kifejezve egy véges számú tagra. Ezért kap (pontosan)

stb ami azt bizonyítja állításunkat.

Feladat 1.9. Határozza meg a súlypontja síkidom (ábra. 1,35), hajlított egy vékony drót. Mivel méretek :. . . .

Határozat. Az ábra négy melléktermékek élesen. . és. Ez a négy-gumi alkatrészek és felosztják a szám. Ezek segítségével a szegmensek a központok a szimmetria, és következésképpen, cha-gravitációs központok (pont .. és ábra. 1.35).

Nagysága alapján szegmensek, keresse meg a koordinátákat a súlypontok, a szegmensek és a hossza.

A (1,18), kapjuk:

kiegészítések módszer. vagy negatív súlyokat. Ez egy különleges eset tea csoportosulás módszer. Lényege kitűnik a következő példát.

Feladat 1.11. A homogén négyzet PLA toplate oldalsó vágott egy lyukat a négyzet alakban, száz-Rhone az oldalakkal párhuzamosan a PLA-Stina és egyenlő. Nata meghatározza a koordináta a súlypont a fennmaradó része a lemez, tudva. ahol - a tér közepén (ábra 1.37.).

Reshenie.Budem úgy ez a lemez, mint egy teljes készlet egy négyzet kivágás nélkül egy tér középső terület tochkes negatív (negatív súly), szuperponálva a kivágás helyzetben. A koordinátákat a súlypontok Olyan (1,19) negatív terület (tömeg) figyelembe kell venni a megjelölés „mínusz”.

Keresztül a tér közepén, és a vezeték körül. A választott koordinátarendszerben négyzetek súlypontok egybeesik a pontokat és. Mekkora területű négyzet:

Alapján az első két képlet (1,18), megkapjuk

Pappa -Guldina tétel. Sok esetben koordinátáinak meghatározására súlypontjának síkidomok és vonalak egyszerűsíti a használatát tételek Pappa - Guldin.

Először teorema.Obem kialakított forgó alak egy tengely körül fekvő testével egy síkban nem metszi azt, egyenlő a termék a négyzet alakú kerületén által leírt annak súlypontja.

Bizonyítás. A kötet a test, ami képződik forgatásával síkidom (ábra. 1,38) a tengely körül. Meg lehet kiszámítani összegeként térfogatú testek által alkotott forgás-niem elemi területeken. A kötet az egyes végtelenül test és az egész test

Alapján képletek (1,17), van

ahol - a terület az ábrán; - koordinátáit a súlypontja.

Egyenlővé a jobb oldali képletek tételek érvényességének megállapításához az első pápa-Gulden.

Második teorema.Bokovaya verhnosttela van kialakítva forgatásával egy egyenes vonal egy tengely körül fekvő vele egy síkban, és annak nem-metsző vezetőképes vonalak egyenlő a termék hossza a kerülete által leírt a súlypontja-Cha.

Bizonyítás. Az oldalsó felülete a test, az ív által alkotott tengely körül forgatva. feküdt vele azonos síkban, az összegével egyenlő felületek leírt elemi ívek (lásd Figure 1.39 ..):

Értékre a (1,18), van

ahol - az a vonal hossza; - koordinátáit a súlypontja.

Egyenlővé a jobb oldalán az utolsó képlet, mi érvényességének megállapításához a második tétel Papa Goulden.

Feladat 1.12. Határozza meg az súlypontja a területet egy egyenlő szárú derékszögű háromszög lábakkal (ábra. 1,40).

Határozat. Miután egy előre meghatározott csúcsszöge a háromszög egyenes és a huzal mértani tengelyével. Forgatás a háromszög tengelye körül. kap egy kúp egy bázissal sugara és magassága (lásd. ábra. 1.40). A kötet a kúp, és egy előre meghatározott területen a háromszög

Ezért alapján az első Papp -Guldina tétel egyenlet (1.20) (koordináta, amikor az ilyen forgatás nem változott) válik

Ha a háromszög körül forog tengelye get

Feladat 1.13. Határozza meg a súlypont a félkör ív sugara (ábra. 1,41).

Határozat. Mivel a szimmetriatengely egybeesik a tengelye a félkört. A súlypontja a tengely, azaz, .

Keressen koordinátákat. Forgó félkörben egy tengely körül. Kapunk egy gömb (lásd. Ábra. 1,41). A terület a gömb. félkörben hossza -. Alapján a második tétel Papp - van Guldin

§ 21. A súlypontok egyes homogén vonalak

síkidomok és testek

A súlypontja a háromszög. Osztjuk a terület a háromszög-nick végtelenül vékony szalagelemek tára-párhuzamos bázis-niju (ábra. 1,42). A tömegközéppont kazh-DOY csík található, a közepén. Geometriai nekem száz súlypontok minden csíkok medián. Ezért kell les-press súlypontja a háromszög. Mivel ugyanaz az érv Spra-igaz a másik két mediánértékeknek a cha-tömegközéppontja a háromszög fekszik a metszéspontja-CIÓ annak mediánok. Amikor megadja a koordinátáit, a háromszög csúcsait kapnak

Súlypontja a körív. Elosztjuk az ívet végtelenül kicsi elemi ívek (ábra. 1,43).

Segítségével ábra. 1.43 van

Súlypontja a szektor területén. Értelmi osztani szektor sugarak központjából húzott. egy végtelenül kis ágazatokban, amelyek közül az egyik az a rajzon látható (lásd. ábra. 1.44). Mindegyik lehet tekinteni, mint egy szektor egy háromszög, és így a súlypontja található távolságát a. A locus a súlypontok mindezen ágazatok egy ív. akinek súlypontja egybeesik a súlypontja az ágazatban. Képlet (1,23), hogy ebben az esetben. kap

Különösen a félkör és egy félkör a képletek

a (1.22) és (1.23) van, illetve

amely egybeesik a kapott eredményeket a probléma megoldásában 1.13.

Feladat 1.14. Határozza meg a koordinátáit a súlypont a homogén vékony lemez, alakja és méretei, amelyek ábrán látható. 1.45.

Határozat. Tekintsük ezt a rekordot összkiadásra A közvetlen téglalap nélkül kivágások téglalap alapterületű háromszög és egy félkört a negatív-Tel-kormányzati területeken, amelyeket kiszabott helyen darabok. A kényelem hosszú Shih számítástechnikai találják ismeretlen szegmensek hossza. és.

Keresse meg a terület és a koordinátákat koordinálja a súlypontok ezek a részek.

téglalap

A súlypontja egy köralakú kúp. Adott egy egyenes körkúp (ábra. 1,46) a magasság és a bázissal sugara. A tengely kúpos vesszük a koordináta tengelyen. Azt ossza mentálisan kúpot a vékony szakaszok niyami párhuzamos a talajjal. Figyelembe minden egyes rétegben megközelítőleg hengeres korong bázissal sugara. . és az oszlop-CIÓ. azt találjuk, hogy a térfogata

Számítva a rétegek száma a tetején a kúp, van

Ezután a képlet (1,17), megkapjuk egy közelítő

ahol - a hangerő a kúp.

Bérbeadása, megjegyezve, hogy

Megkapjuk a pontos értékét a koordinátákat

Hasonlóképpen nem lehet bizonyítani, hogy bármelyik piramis súlypontú egy összekötő szakasz a felső bázis súlyponttal egy távolság a felső hosszával megegyező és ezen intervallum.

Több hatékonyan ezeket a problémákat megoldani, a találmány szerinti berendezéssel a integrálszámítás.