Minden elemi matematika - Study Guide - Geometria - síkrajzi - Triangle
Triangle. Hegyesszögű, tompa- és derékszögű háromszög.
A lábak és a átfogója. Egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszöget.
Az alapvető tulajdonságait háromszögek. Az összeg a háromszög szögeinek.
A külső szög a háromszög. Jelek az egyenlő háromszögek.
Jelek az egyenlő derékszögű háromszögek.
Figyelemre méltó vonalak és pontok a háromszög: a magasság, a medián,
felezővonal, a medián e merőlegesek orthocenter,
súlypont közepén a körülírt kör, beírt kör közepén.
Pitagorasz-tétel. Képoldalarány egy tetszőleges háromszög.
Triangle - sokszög három oldala (vagy három szög). oldalán a háromszög gyakran nevezik kisbetűkkel, amelyek megfelelnek a nagybetűk, jelezve a szemközti csúcsa.
Ha mind a három szöge akut (20. ábra), ez egy hegyesszögű háromszög. Ha az egyik szög helyes (C, 21. ábra), akkor ez egy derékszögű háromszög; másikra egy. b. derékszöget zár, úgynevezett lábak; oldalán c. szemben a derékszög az úgynevezett átfogója. Ha az egyik szög tompaszög (B, 22. ábra), ez egy tompaszögű háromszög.
ABC háromszög (23. ábra) - egyenlő szárú. ha annak két oldala egyenlő (a = c); az egyenlő oldalak nevezzük oldalirányú. a harmadik fél az úgynevezett háromszög alapja. ABC háromszög (24. ábra) - egyenlő oldalú. ha minden oldalról egyenlő (a = b = c). Az általános esetben (a ≠ b ≠ c) van egy egyenlő szárú háromszög.
Alapvető tulajdonságok treugolnikov.V olyan háromszög:
1. Ellen legtöbb oldalról nagyobb szögben, és fordítva.
2. szemközti az egyenlő oldalak egyenlő szögek, és fordítva.
Különösen, az összes a sarkokban egy egyenlő oldalú háromszög egyenlő.
3. Az összeg a háromszög szögeinek 180 °.
Az utolsó két tulajdonság az következik, hogy minden sarkon egy egyenlő oldalú
háromszög 60 °.
4. Folytatva az egyik háromszög oldalai (AC. 25. ábra), megkapjuk a külső
szög BCD. A külső szög a háromszög összegével egyenlő a belső szögek,
nem kapcsolódik hozzá. BCD = A + B
5. Lyubayastorona háromszög összege kisebb, mint a másik két fél és több
különbségük (a b - c; b a - c; c a - b).
Jelek az egyenlő háromszögek.
A háromszög egyenlő, ha azok egyenlő:
a) két oldalán, és egy szöget közöttük;
b) két szög, és a szomszédos oldalsó;
Jelek az egyenlő derékszögű háromszögek.
A VA-szögben háromszög egybevágó, ha az egyik a következő feltételek:
1) egyenlő a lábukat;
2) az egyik befogó és a háromszög átfogója egyenlő befogó és a átfogója a többi;
3) átfogója, és hegyesszöget a háromszög, és a átfogója egyenlő a hegyesszög a másik;
4), és a láb szomszédos hegyesszög a háromszög egyenlő egy lábat és egy szomszédos hegyesszög másik;
5) és a szemközti befogó hegyesszög a háromszög egyenlő az egyik lábát, és egy ellentétes hegyesszög másik.
Figyelemre méltó vonalak és pontok egy háromszög.
A magassága a háromszög - a merőleges bármely vertex az ellenkező oldalon (vagy annak folytatása). Ez az oldal az úgynevezett alap a háromszög. Három magasságban háromszög mindig peresekayutsyav egy pontot. az úgynevezett orthocenter a háromszög. Orthocenter hegyesszögű háromszög (pont O. 26. ábra) helyezkedik el a háromszög, a orthocenter és tompa háromszög (pont O. ábra27) - azon kívül; orthocenter derékszögű háromszög egybeesik csúcsa derékszögben.
Medián - egy szegmens. összekötő bármely csúcsa a háromszög a középpontját a szemközti háromszög storony.Tri medián (.. AD BE CF. ábra28) metszik egy ponton O. mindig fekszik a háromszög belsejében, és a középpontja tyazhesti.Eta osztja egyes medián az arány 2: 1 számítva a tetején.
Szögfelező - egy szegmense a szögfelező a vertex a kereszteződés az ellenkező storonoy.Tri háromszög a felezővonal (AD BE CF. Fig.29 ..) metszik egy ponton O mindig fekszik a háromszög belsejében, és a központja a beírt kör (lásd „feliratú részben. és körülhatárolt sokszögek „).
Szögfelező osztja a szemközti oldalon részekre arányos a szomszédos oldalán; például a 29. ábra AE. CE = AB. BC.
A medián merőleges - a merőleges levonni a középpontja a szegmens (oldalsó). Három medián merőlegesek az ABC háromszög (... KO MO NO ábra30) pontban metszik egymást O, amely tsentromopisannogo körhöz (pont K. M. N - közepén ABC háromszög oldalai).
Egy hegyesszögű háromszög, ezen a ponton fekszik háromszög belsejében; tompaszöget - azon kívül; Egy jobb - a közepén átfogója. Orthocenter, súlypont, közepén a körülírt és beírt kör középpontját egybeesik csak egy egyenlő oldalú háromszög.
Tétel Pifagora.V derékszögű háromszög átfogója négyzetes hossza megegyezik a négyzetének összege a hossza a lábak.
A bizonyíték a Pitagorasz tétel kitűnik ábra31. Vegyünk egy téglalap ABC háromszög lábakkal a. b és átfogója c.
Készítünk egy négyzet AKMB. Az AB a átfogója oldalon. Aztán továbbra is az oldalán egy ABC derékszögű háromszög úgy, hogy a tér CDEF. oldalán, amely egyenlő a + b. Most már világos, hogy a négyzet területe CDEF (a + b) 2. Másrészt, ez a terület az összege területek négy derékszögű háromszög és a tér AKMB. tehát
és végül már:
Képoldalarány egy tetszőleges háromszög.
Az általános esetben (tetszőleges háromszög), van: