Miért mínusz a mínusz ad plusz

1) Miért mínusz szorozva mínusz egy egyenlő egy plusz egy?

2) Miért mínusz egy szorozva plusz egy egyenlő mínusz egy?

Az ellenségem ellensége - a barátom

A legegyszerűbb módja annak, hogy válaszoljon: „Mivel ezek a cselekvési szabályok a negatív számokat.” A szabályok, amiket tanulnak az iskolában, és alkalmazza az élet. Ugyanakkor a tankönyvek nem magyarázzák, hogy miért ilyen szabályok. Mi először próbálja meg kitalálni alapuló számtani fejlesztés történetét, majd a választ erre a kérdésre abból a szempontból modern matematika.

Réges-régen, az emberek ismert, csak a természetes számok 1, 2, 3 használták őket számlálni edények, kitermelés, ellenségek, stb De a számok önmagukban elég haszontalan - meg kell tudni, hogyan kell kezelni őket ... Amellett, világos és érthető, hogy ugyanazon összeg két természetes szám - szintén egy természetes szám (a matematikus azt mondaná, hogy a természetes számok halmaza zárt a működését követően). Szorzás - van, sőt, az azonos Emellett, ha beszélünk a természetes számok. Az életben gyakran összefüggő tevékenységek a két művelet (például, amikor vásárlás, hozzátesszük és szaporodnak), és ez furcsa arra gondolni, hogy őseink szembefordult velük legalább - összeadás és a szorzás már elsajátította az emberiség hosszú ideig. És gyakran kell megosztani néhány érték, a másik, de az eredmények nem mindig fejezi ki egy természetes szám - így tört számok.

Levonása nélkül, természetesen, szintén nem lehet csinálni. A gyakorlatban azonban mi általában kivonni egy nagyobb számú kisebb, és nincs szükség a használatához negatív számok. (Ha van 5 cukorkát, és én adok a húgom 3, akkor maradok 5-3 = 2 cukorkát, de neki 7 édességet én egyáltalán vágy nem.) Ez lehet a magyarázat, hogy miért az emberek régóta használják a negatív számok.

Az indiai papírok negatív számok jelennek meg a VII században.; Kínai, látszólag kezdték használni őket egy kicsit korábban. Ezeket elszámolására alkalmazott tartozás vagy közbenső számítások egyszerűsítése az egyenletek megoldása - ez csak egy eszköz, hogy pozitív választ. Az a tény, hogy a negatív számok, szemben a pozitív, nem fejezik ki a létezését minden olyan tény, kiváltott erős bizalmatlanság. Az emberek szó szerint elkerüljék a negatív számokat, ha kap egy negatív választ a probléma, hogy úgy gondolta, hogy nincs válasz egyáltalán. Ez a bizalmatlanság tartottuk sokáig, és még Descartes - az egyik „alapító” modern matematika - hívta őket „false” (a XVII században!).

Vegyük például az egyenlet 7x - 17 = 2x - 2. Ez megoldható a következő: mozgassa a tagjai ismeretlen a bal oldalon, és a többi - a megfelelő, akkor kap 7x - 2x = 17 - 2. 5x = 15 x = 3. Ebben döntés még nem is találkozott a negatív számok.

De nem volt arra, hogy véletlenül, hogy más módon: átvinni szempontjából az ismeretlen, a jobb oldalon, és kap 2 - 17 = 2x - 7x. (-15) = (-5) x. Ahhoz, hogy megtalálja az ismeretlen, meg kell osztani egy számot egy másik negatív: x = (-15) / (- 5). De a helyes válasz ismert, és továbbra is arra következtetni, hogy (-15) / (- 5) = 3.

Ez azt mutatja, ez az egyszerű példát? Először is, világossá válik, a logikát, hogy meghatározza a cselekvési szabályok a negatív számok: az eredmények ezen intézkedések kell egyeznie a válaszokat, amelyeket elő más módon, anélkül, hogy negatív számokat. Másodszor, lehetővé teszi a használatát a negatív számok, megszabadulunk az unalmas (ha az egyenlet sokkal bonyolultabb lesz, és a nagyszámú kifejezésekkel) keresnek megoldásokat, amelyekben minden olyan tevékenységet végeznek csak a természetes számokat. Sőt, ma már nem hiszem, minden alkalommal, amikor a értelmetlenségét átalakított értékeket - és ez a lépés az átalakulás a matematika elvont tudomány.

Action szabályzat negatív számok alakultak azonnal, hanem vált általánossá a számos példa merültek foglalkozó alkalmazásokat. Általában a matematika fejlődése osztható fázisból áll: az egyes következő lépés eltér a korábbi új absztrakciós szinten a tanulmány a tárgyakat. Tehát a XIX matematikus rájött, hogy az egész számok és polinomok, minden külső különbözőség, sok közös: mindkét, és mások is összeadni, kivonni, és szaporodnak. Ezek a műveletek ugyanazok a törvények - mint abban az esetben a számok, és abban az esetben a polinomok. De a szétválás egészek egymással eredményez újra megszerezni egészek, ez nem mindig lehetséges. Ugyanaz a polinomok.

Aztán felfedezték egy másik matematikai objektumok, amely felett végeznek ilyen műveleteket: formális hatványsor, folytonos függvények. Végül, ez úgy értendő, hogy ha tulajdonságainak tanulmányozására maguk a műveletek, majd az eredményeket lehet alkalmazni minden ilyen készlet tárgyak (ilyen megközelítés jellemző az egész modern matematika).

Ennek eredményeképpen egy új fogalom: a gyűrűt. Ez csak egy sor elemet, valamint a műveletek végezhetők rajtuk. Alapvető itt csak szabályok (ún axiómák), amelyekre az intézkedés, és nem a természet halmaz elemeit (itt van egy új absztrakciós szint!). Hangsúlyozni, mi a fontos, az a struktúra, amely akkor jelentkezik beadása után axiómák matematika szerint a gyűrű az egész számok, polinomok gyűrűjét, stb alapján axiómák képes megjeleníteni más tulajdonságait a gyűrűk ...

Megfogalmazzuk az axiómák gyűrűk (ami, persze, hasonló a szabályok az akció egész szám), majd bizonyítani, hogy minden gyűrű megszorozva mínusz plusz mínusz fordulat.

Ring egy sor két bináris műveletek (azaz az egyes műveletekben részt vevő két gyűrű tag ..), ami hagyományosan az úgynevezett összeadás és a szorzás és az alábbi axiómák:

• Addition engedelmeskedik kommutat'ıv gyűrű alakú elemek (A + B = B + A bármely elem A és B) és asszociatív (A + (B + C) = (A + B) + C) törvények; a gyűrű egy speciális elem 0 (semleges eleme mellett) úgy, hogy az A + 0 = A. és bármely elemét egy az ellenkező elem (említett (-A)), hogy az A + (-A) = 0;
• szorzás engedelmeskedik asszociatív Law: · (B · C) = (a • b) · C;
• Összeadás és szorzás vannak csatlakoztatva, zárójelben közzétételi szabályok: (A + B) · C = A · C + B · C és A · (B + C) = A · B + A · C

Megjegyezzük, hogy a gyűrű, a legáltalánosabb design, nem igényel semmilyen szorzás kommutativitás sem a megfordíthatóságról (azaz, a megosztás nem mindig lehetséges ..) megléte készülékenként - semleges eleme szorzás. Ha megadja ezeket axiómák, megkapjuk a másik algebrai struktúrák, de igaz lesz minden tétel bizonyult a gyűrű.

Most bebizonyítjuk, hogy minden elem az A és B gyűrűk önkényes jobb egyrészt (-A) · B = - (A · B). és másrészt (- (- A)) = A. Ebből könnyen állításokat az egységek: (-1) · 1 = - (1 × 1) = 1 és (-1) + (-1) = - ((-1) · 1) = - (- 1) = 1.

Ehhez meg kell létrehozni néhány tényt. Először bizonyítani, hogy nem lehet csak az egyik szemben az egyes elemeket. Tény, hogy hagyja, hogy az A elem két átellenes: B és C. Ez azt jelenti, A + B = 0 = A + C Tekintsük összege A + B + C A asszociatív és kommutatív jog és a tulajdon nulla, azt találjuk, hogy a egyrészt, az összeg B: B = B + 0 = B + (a + c) = a + B + C Másrészt, ez a C: a + B + C = (a + B) + C = 0 + C = C-on keverjük, B = C

Most vegye figyelembe, hogy A. és (- (- A)) ellentétes, hogy egy és ugyanaz az elem (-A). így egyenlőnek kell lennie.

Ahhoz, hogy matematikailag szigorú, elmagyarázni, ám miért 0 · B = 0 bármely elem B. Tény, hogy a 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Azaz, a mellett 0 · B nem változik az összeg. Tehát ez a termék nulla.

És az a tény, hogy a gyűrű pontosan egy nulla (mert axiómák mondják, hogy egy ilyen elem létezik, de semmit nem mondott az egyediségét!) Hagyjuk, hogy az olvasó, mint egy egyszerű feladat.