Matematika tetszőleges háromszög

A főbb tételek és formulák síkgeometria Thalész-tétel. Ha párhuzamos vonalak metsző oldalán a sarokban, levágta egyik oldalán egyenlő szegmensek, akkor ezek egyenes vonalak levágta a másik oldalon is egyenlő szegmensek. Pitagorasz-tétel. A derékszögű háromszög, a átfogója egyenlő a tér a négyzetének összege a lábak: 2 = a 2 + b 2. Egy tetszőleges háromszög a, b, c - oldalán; - szemben lévő sarkok azt; p - semiperimeter; R - a kör sugara; r - a sugara a beírt kör; S - terület; ha - a magassága hívni az oldalán egy. S = pr. ahol p = 1/2 (a + b + c) Megoldás Háromszögmódszert tétele koszinuszok. sine tétel. A közepes hosszúságú háromszög :. A hossza az oldalán a háromszög a Media :. A hossza a felezővonal a háromszög :. Egyenlő oldalú háromszöget Tulajdonságok felezővonal belső sarka CM - felezővonal C szög az ABC háromszögben a felezővonal hossza :. A középhosszúsága :. magassága hossza :. Megléte köré írt kör a háromszög:

• Mindhárom középső háromszög merőleges metszi egy ponton, és ez pont az a kör közepére. Leírt egy kört a háromszög mindig létezik, és ez egyedülálló;
• a központ a körülírt kör a négyszögletes háromszög átfogója a középső.

Létezik a beírt kör:

• Mindhárom bisectors egy háromszög metszik egy ponton, és ez a pont a központja a beírt kör;
• beírható kör háromszög mindig létezik, és ez egyedülálló.

A szegmensek és körök kapcsolódó háromszög körök érintő mindhárom egy háromszög oldalai hívják a beírt kör. Kör áthaladó mindhárom csúcsa a háromszög nevezzük körülírt körének. A három mediánjait háromszög metszik egy ponton. Ez a metszéspont az úgynevezett súlypontját vagy súlypontja a háromszög. A centroid osztja egyes medián az arány 1: 2, kezdve az alapja a medián. Három magasságban háromszög metszik egy ponton úgynevezett orthocenter a háromszög. A bisectors háromszög metszik egy ponton. és ezen a ponton egybeesik a központja a beírt kör. Az egyenlő oldalú háromszögben, a felezővonal, a medián és magassága hozott a bázis azonos. Ezzel szemben, ha a felezővonal, a medián és húzott magasság egyik csúcsa egybeesik, akkor a háromszög egyenlő szárú. Ha a háromszög oldalú, akkor minden csúcs felezővonal levonni belőle, között fekszik a medián és levonni a két csúcsot magasságot. Közép-merőlegesek a háromszög oldalainak és metszik egy pont, amely egybeesik a központja a körülírt kör. Kívül a beírt kör az úgynevezett kör érintő egyik oldalán a háromszög és a folytatása a másik két oldala. Között három oldalának a háromszög, a bázist és magasságai a három középső három szegmens csúcsokat összekötő a orthocenter, egy körön, az úgynevezett Feuerbach-kör. Bármely háromszög súlypontja, orthocenter, a központ a körülírt kör és a kör közepén kilenc pontra illeszkedik egy egyenes vonal, az úgynevezett Euler vonal. Összekötő szakasz közepén a háromszög egy háromszög oldalai az úgynevezett középső sor. Közel sorban a háromszög az ingatlan - ez az alappal párhuzamos a háromszög, és egyenlő a felére. A tulajdonságait a háromszög középvonalainak

• A medián osztja a háromszög két háromszög egyenlő területű.
• Mediánjait háromszög metszik egy ponton. mely elválasztja azokat egymástól arány 2: 1, a tetejétől kezdve. Ez a pont az úgynevezett súlypontja a háromszög.
• Egész háromszöget van osztva hat a medián egyenlő háromszögek.

Tulajdonságok magasságok a háromszög

• Egy derékszögű háromszög magassága levonni a tetején a derékszög, osztja azt két háromszög hasonló az eredeti.
• Egy hegyesszögű háromszög, magassága két hasonló háromszögek levágták róla.
• Ha egy hegyesszögű háromszög, az alap minden magasságban tartozik oldalán a háromszög, és tompa háromszög két magasságban esik, hogy továbbra is a párt.
• Három magasságban akut háromszög metszi egy ponton, és ezt a pontot nevezzük orthocenter a háromszög.

Tulajdonságai a közepén a háromszög normals

• Minden pont a merőleges a vonalszakasz egyenlő távolságra levő végei ebben a szegmensben. Fordítottja is igaz: minden pontján egyenlő távolságra a végén a szegmens fekszik a merőleges.
• A metszéspont midperpendiculars tartott oldalán a háromszög a kör közepén a háromszög.

Hasonlóság kritériumok háromszögek

1. a két sarkok;
2. Két arányos oldalán és a köztük lévő szög;
3. három oldalról arányos.

1. példa Az alábbi állítások közül melyik nem igaz?

1) Bármely két egyenlő oldalú háromszög hasonló. 2) Bármely két egyenlő szárú derékszögű háromszög hasonló. 3) Bármely két egyenlőtlen ferde háromszög egyenlő átfogói hasonló. 4) Ha a kerületük közé háromszögek, mint például a 3: 2, a területeket e háromszögek egyaránt 9: 4.

1) A 3. és 4.; 2) hitetlenek nem; 3) 3; 4) 4. megoldás.

1) igaz, mert háromszög hasonló, ha a szögek egyenlők. 2) Igaz, mert háromszög hasonló a két sarkok. 3) Érvénytelen. Például, derékszögű háromszögek átfogója 5, és a lábak 3. és 4. az első, a második és a lábak (vegye figyelembe, hogy () 2 + () 2 = 5 2). Sőt, a lábak nem arányosak. És aztán, a háromszögek nem hasonlóak. 4) Igaz, mert Ha az arány a lineáris méretei ezek a számok egyenlő k. A terület aránya ezek a számok jelentése a k 2.

Válasz: 3. példa 2 oldalú háromszög Side 10. Keresse környékén. Határozat. BH = 1/2 BC. A tétel Pitagorasz: A: 25. 3. példa Az egyenlő szárú háromszög oldalsó 10, és a szög szemben fekvő a bázis 120. Keresse meg a háromszög területe. Határozat. BH = AB cos30 = 10/2 = 5. Ezután BC = 2VN = 10. AH = AB sin30 = 10/2 = 5: 25. 4. példa egyenlő szárú háromszög oldalsó 10, és a szög szemben fekvő a bázis egyenlő 135, bázis. Keresse meg a háromszög területe. Határozat. Vegye figyelembe, hogy a plusz feltétel (a bázis) a problémát. Válasz: 25. 5. példa Egy háromszög egyik oldala egyenlő 10, a másik pedig 12, és a koszinusza a köztük lévő szög egyenlő. Keresse meg a háromszög területe. Határozat. Válasz: 20. 6. példa Egy háromszög egyik oldala egyenlő 10, a másik pedig 12, és a szög tangense közöttük egyenlő. Keresse meg a háromszög területe. Határozat. Válasz: 20. példa 7. A ABC háromszög területe 30 cm 2. A váltakozó áramú oldalán veszik D pontban úgy, hogy AD: DC = 2: 3. A hossza a merőleges DE tartott a fél BC, egyenlő 9 cm. Megtalálni a BC. Határozat. Döntetlen BD; háromszögek ABD és BDC van egy teljes magassága BF; Következésképpen azok kezelt terület, mint a hossza bázisok, azaz . Amelyből a másik viszont, ahol a BC = 4 cm A :. BC = 4, lásd a 8. példa A ABC háromszög, AB = 5 cm, C 30 egyenlő. Keresse meg a kör sugara. Határozat. Szerint a szinusztétel megvannak az eszközeink, azaz . Egymás után találunk 2R = 10, azaz R = 5 cm A: .. 5, lásd 9. példa Körülbelül egyenlő szárú háromszög, egy bázissal AC és a bázis szög 75 leír egy kör közepén O. megtalálja a sugara, ha a terület a háromszög BOC jelentése 16. megoldás.

Adott: ABC - egyenlő szárú, AC - bázis, ACB = 75, SBOC = 16 Find: R - a sugara a körülírt

ABC - egyenlő szárú, BH - medián tehát, BH - magasság, és így HBC - téglalap alakú HBC = 90 - ACB, HBC = 90 - 75 = 15 BO = OC = R. tehát, BOC - egyenlőszárú jelenti OBC = OCB = 15 COB = 180 - (OBC + OCB), COB = 180 - (15 + 15) = 150 S = (BO ∙ OC sin BOC) / 2. SBOC = (R ∙ R ∙ sin 150) / 2 = (R ∙ R) / 4 = R 2/2; R 2/4 = 16; R 2 = 64; R = A 8: 8. példa 10. hegyesszögű egyenlő szárú háromszög, egy bázissal BCD CD, 16, feltüntetik egy O középpontú kör és a sugár 10. Keresse a háromszög területe BOC. Határozat. Mivel BCD - egyenlőszárú, CD = 16. Következésképpen, DH = HC = 8. DOH - téglalap alakú. A Pitagorasz-tétel: OH 2 = február 10-február 8 OH 2 = 100 - 64 = 36, OH = 6 BH = BO + OH = 10 + 6 = 16 A Pitagorasz-tétel: BC 2 = 16 2 + 8 2 = 256 + 64 = 320 BC = 8. KBO HBC SBOK = 20 SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40 A: 40. példa 11 beírható kör egyenlő szárú háromszög tekintetében oldalai pontokon K és A. A K pontot osztja az oldalán a háromszög a 15 szegmensek és a 10 kezdve az alsó. Keresse KA szegmens hosszát. Határozat.

Dano: BCD - egyenlő szárú, K Je BC, A Je DC, BK = 15, KC = 10 Keress: KA.

CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 2, CK = CA = 10 (vonalszakaszok húzott érintő egy pont), CB = CD. így AD = CD - CA, AD = 25 - 10 = 15. BE = BK = 15, a DE = DA = 15 (vonalszakaszok húzott érintő egy pont), és ennek következtében a BD = 15 + 15 = 30 CKA