Hogyan lehet ellenőrizni a differenciálás

5. differenciálhatósága

Definíció 1. Egy függvény, amelynek egy származéka egy olyan ponton úgynevezett differenciálható ezen a ponton.

2. meghatározása differenciálható függvényt hívjuk tartományban, ha differenciálható minden pontján az intervallumban.

Például, a függvény differenciálható (m. E. Van egy származékát) bárhol így nevezhetjük differenciálható végtelen intervallumban t. E. A teljes tengelye.

Belátjuk a következő tétel közötti kapcsolat jön létre differenciálhatósági és folytonosságát funkciót.

Tétel. Ha a függvény differenciálható egy pontban, akkor ezen a ponton folyamatos.

Bizonyítás. Hagyja, hogy a érv lesz a lényeg növekmény értéke nem nulla. Ez megfelel egy változata a funkciót. Tekintsük a nyilvánvaló identitását. Átadás a határt, ezt kapjuk:

ami azt jelenti,, igénypont szerinti. 2., a folytonosság a pont

Az ellenkezője tétel nem igaz: vannak folytonos függvények, amelyek bizonyos pontokon nem differenciálható. Hogy ez, úgy a függvény

A lényeg a folyamatos, mint

Megmutatjuk, hogy a funkció nincs származék az elején, azt látjuk, hogy azon a ponton,

Jobb nulla. ezért

A bal oldalon a nulla. ezért

Így, az arány a jobb és a bal különböző határértékek, ami azt jelenti, hogy a határ nem az arány, r. E. A származék a ponton nem létezik.

Tekintsük egy másik példát. A függvény folytonos az egész valós tengelyen, és különösen, amikor azt mutatják, hogy ez a funkció nincs származék. Tény, hogy a növekmény az érvelés megegyezik a növekmény a függvény

Átadás a határ,

Ez azt jelenti, hogy a funkció a ponton nem-származék.