Hogyan lehet bizonyítani, hogy a háromszög hegyesszögű 3

4. § Schwarz háromszög

1. A bizonyítás által bemutatott Schwartz

Német Amandus Shvarts (1843-1921). halad matematikus, egyetemi tanár, a berlini egyetem, sokat tett a fejlesztés, a modern elméleti feladatok és elemzés. Ő nem tartotta alatt méltóságukat írni a téma elemi tartalom, és egyik művét fordítják a következő probléma: a hegyesszögű háromszög beleíródik minden háromszög minimális kerülete. (Amikor azt mondjuk, hogy a háromszög van írva ebben, azt jelenti, hogy mindkét oldalán a háromszög van egy csúcsa a háromszög megfontolás alatt.) Később látni fogjuk, hogy csak egy van szükség háromszög: nevezetesen, a csúcsait az alapja magassága a háromszög. Ez a háromszög lesz az úgynevezett háromszög magasság.

Schwartz bizonyult minimális tulajdonsága a magasságban a háromszög, a reflexiós módszer, és az alapján a következő elemi geometria tétel: Az egyes csúcsok P, Q, R (. Ábra 197) a két oldalán a magasságban a háromszög, hogy az egyenlő szöget zárnak be az oldalán a háromszög, hogy minden ilyen szögek egyenlő sarok a szemközti háromszög csúcsa. Például, sarkok az ARQ és a BRP mindegyikének sarokban C és t. D.

Ábra. 197. magasság háromszög háromszög AVS

Először bizonyítani a tételt. Mivel a szögek ODS és ORB egyenes, mintegy négyszög OPBR képes leírni egy kört. Következésképpen, ∠PBO = ∠PRO, mivel a már említett szögek alapulnak azonos köríven leírt. De RVO szög komplementer a C szög, például CBQ derékszögű háromszög, és az a szög, hogy a sarokban a PRO további PRB. Ezért ∠PRB = ∠C. Ugyanígy beszélt a négyszög QORA. következtetni, hogy ∠QRA = ∠C és t. d.

Ez az eredmény vezet kapcsolatos vizsgálat a magasságban háromszög: mivel például ∠AQR = ∠CQP. majd az elmélkedés az oldalán a háromszög AC oldalát RQ által küldött oldalán PQ, és fordítva. Hasonlóképpen, a többi fél.

Térjünk a bizonyítékot a minimális magasság a háromszög tulajdon. Az ABC háromszögben úgy, valamint a tengerszint feletti magasság háromszög, egy másik feliratos háromszög, mondjuk, UVW. Capture az első darab tekintetében az AC oldalán az ABC háromszög, majd ismét a szám tükrözi a relatív AB oldalán, majd - képest a Nap, akkor - képest az AU és végül képest AB. Így kapunk összesen hat egybevágó háromszögek, és magas háromszög, és még más feliratos háromszög (ábra. 198) osztanak ki mindegyik. Sun oldalán az utolsó háromszög párhuzamos az első oldalán a háromszög Sun Tény, hogy az első reflexiós BC oldalon forog visszaverődés UL oldalán az óramutató járása szerint szögben 2C. majd ismét az óramutató járásával megegyező szöget 2B. A harmadik reflexió - változatlan marad; a negyedik - 2C óramutató járásával ellentétesen forog, és az ötödik - 2B keresztül ismét szögben az óramutató járásával ellentétes. Összesen a teljes kormányzási szög nulla.

Ábra. 198. A bizonyítási ingatlan minimális magasság a háromszög által adott Schwartz

A fentiek miatt a tulajdonságait a háromszög magassága vonalszakasz PP „kétszeresével egyenlő a kerülete a háromszög PQR: sőt, a PP” áll hat szegmenst, viszont egyenlő, és az első, a második, és a PQR harmadik oldala, két oldalsó résztől kétszer. Hasonlóképpen szaggatott vonal összekötő U és U „hossza kétszeresével egyenlő a kerülete a háromszög UVW. Ez szaggatott vonal nem rövidebb, mint a UU vonalszakasz”. Ami a szakasza egyenes UU „ez a PP”, mint az UU szegmens »párhuzamos a PP«. Tehát, a szaggatott vonal UU „nem rövidebb, mint az egyenes PP”, t. E. sokemeletes kerülete a háromszög nem nagyobb, mint a kerülete bármely más háromszög beírt e. Azt is be kellett bizonyítania. Tehát azt találtuk, hogy a minimális létezik, és hogy végre abban az esetben, magaslati a háromszög. Hogy nincs háromszög írva ugyanaz kerülete - ez azonban nem bizonyított, és be fogjuk bizonyítani, hogy tovább.