Feltételek számítani származékok

Ha az elemi függvény szorozva egy tetszőleges állandó, akkor a származék, az új funkciók is könnyen kell figyelembe venni:

Általában az állandó lehet venni, mint egy jel a származék. Például:

(2 x 3) = 2 · (x 3) = 2 x 3 x 2 = 6 x 2.

Nyilvánvaló, hogy az elemi függvények adhatunk egymásnak, szorzás, osztás - és még sok más. Így lesz az új funkciók még nem igazán elemi, hanem differenciált bizonyos szabályok szerint. Ezek a szabályok az alábbiakban tárgyaljuk.

A származék az összege és különbsége

Legyen egy f (x) és g (x), származékai, amelyek ismert számunkra. Például, akkor megteszi az elemi függvények, melyek a fent tárgyalt. Aztán találunk származék összege és különbsége ezen funkciók:

Így a származékot az összeg (különbség) a két függvény összegével egyenlő (különbség) a származékok. Feltételek lehet hosszabb. Például, (f + g + h) '= f' + g '+ H'.

Szigorúan véve, az algebra, nincs fogalma „kivonás”. Van a „negatív elem”. Ezért, a különbség f - g átírható összegeként F + (-1) · g. és akkor lesz csak egy általános képletű - származék mennyiségét.

Feladat. Find származékok funkciók: f (x) = x 2 + sin x; g (x) = x 4 + 2 x 2 - 3.

Az f (x) - az összeg két elemi funkciókat, így:

f '(x) = (x 2 + sin x)' = (x 2) '+ (sin x)' = 2 x + cos x;

Hasonlóképpen azt állítják, hogy a funkció g (x). Csak ott három szempontból (a szempontból algebra)

g '(x) = (x 4 + 2 x 2 - 3)' = (x 4 + 2 x 2 + (-3)) „= (x 4) + (2 x 2) + (3) = 4 x 4 + 3 x + 0 = x 4 · (x 2 + 1).

válaszolni:
f „(x) = 2 x + cos x;
g „(x) = 4 x · (x 2 + 1).

származékos mű

Matematika - a tudomány logikus tehát, sokan úgy vélik, hogy ha valamely egy összegével megegyező összegű származékok, a származékos művek sztrájk „> egyenlő a termék a származékos De ábrákon származékos műveket tartják teljesen más formula, nevezetesen:.!.

(F · g) '= f' · g + f · g '

A képlet egyszerű, de gyakran figyelmen kívül hagyott. Nem csak a diákok, hanem a diákok számára. Az eredmény - egy rossz döntés feladat.

Feladat. Find származékok funkciók: f (x) = x 3 · cos x; g (x) = (x 2 + 7 x - 7) · e x.

f (x) függvény a termék két elemi funkciókat, így ez egyszerű:

f '(x) = (x 3 · cos x)' = (x 3) '· cos x + x 3 · (cos x)' = 3 x 2 · cos x + x 3 · (- sin x) = x 2 · (3cos x - x · sin x)

A függvény g (x) az első tényező egy kicsit bonyolultabb, de az általános rendszer ugyanaz marad. Nyilvánvaló, hogy az első faktor funkció g (x) polinom, és annak származéka - egy származéka mennyiségben. Van:

g '(x) = ((x 2 + 7 x - 7) · ex)' = (x 2 + 7 x - 7) '· ex + (x 2 + 7 x - 7) · (ex)' = ( 2 x + 7) · ex + (x 2 + 7 x - 7) · ex = ex · (x + 2 7 + x 2 + 7 x -7) = (x 2 + 9 x) · ex = x (x + 9) · ex.

válaszolni:
f „(x) = x 2 · (3cos x - x · sin x);
g „(x) = x (x + 9) · e x.

Vegyük észre, hogy az utolsó lépés a származtatott bontjuk tényezők. hogy hivatalosan nem szükséges, de a legtöbb származékok kiszámítását nem önmagukban, hanem annak érdekében, hogy megvizsgálja a funkciót. Tehát, a származékos lesz nulla, akkor világossá vált, jelek, és így tovább. Mert ebben az esetben jobb, ha egy kifejezés a faktoring.

A derivatív a magán

Ha két olyan f (x) és g (x), ahol a g (x) ≠ 0 a forgatáson érdekes számunkra, tudjuk meg egy új funkciót h (x) = f (x) / g (x). Egy ilyen funkció is megtalálható a származék:

Nem gyenge, mi? Hol volt a negatív? Miért g 2. Itt van, hogyan! Ez az egyik legösszetettebb képleteket - anélkül, hogy egy üveg nem fogja megérteni. Ezért jobb, hogy tanulmányozza a konkrét példákat.

Feladat. Keresse származékok funkciók:

A számláló és a nevező az egyes frakciók elemi funkciókat, így minden amire szükségünk van - egy általános képletű Private:

A hagyomány szerint, bontsa ki a számlálót faktoring - ez nagyban egyszerűsíti a választ:

A származék az összetett függvény

Komplex funkció - nem feltétlenül képlet fél kilométer hosszú. Például, ez elég ahhoz, hogy az f (x) = sin x és cserélje az x változó. mondjuk x 2 + ln x. Get f (x) = sin (x 2 + ln x) - ez egy komplex funkciója. Neki is van egy származék azonban, keresse meg a szabályokat a fent tárgyalt, nem fog működni.

Mit kell tenni? Ilyen esetekben, ez segít a változás a változó általános képletű és egy olyan származéka, összetett függvény:

f '(x) = f' (t) · t”, ha x helyébe t (x).

Általános szabály, hogy azzal a felfogással, ez a képlet, a helyzet még ennél is szerencsétlen, mint a magán-származék. Ezért azt is jobban meg tudjuk magyarázni a konkrét példák, részletes leírást minden egyes lépést.

Feladat. Find származékok funkciók: f (x) = e 2 x + 3; g (x) = sin (x 2 + ln x)

Megjegyezzük, hogy ha az f (x) kifejezés helyett 2 x + 3 csak x. megkapjuk az elemi függvény f (x) = e x. Ezért, hogy a változás: hagyja 2 x + 3 = t. f (x) = f (t) = e t. Keresünk egy komplex általános képletű funkciók:

f '(x) = f' (t) · t '= (e t)' · t '= e t · t'

És most - figyelem! Végre inverz cserét: t = 2 x + 3. kapjuk:

f '(x) = e t · t' = e 2 x + 3 + (2 x + 3) „= e 2 x + 2 = 3 · 2 · e 2 x + 3

Most foglalkozik a g (x). Nyilvánvaló, hogy kell cserélni x 2 + ln x = t. Van:

g '(x) = g' (t) · t '= (sin t)' · t '= cos t · t'

Kapcsolat helyettesítő: t = x 2 + ln x. majd:

g '(x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x)' = cos (x 2 + ln x) · (2 ​​x + 1 / x).

Ez az! Mint látható az utolsó kifejezés, az egész probléma csökken a számítás a származék vegyület mennyisége.

válaszolni:
f „(x) = 2 · e 2 x + 3;
g „(x) = (2 x + 1 / x) · cos (x 2 + ln x).

Nagyon gyakran a tantermekben, hanem a „származék” kifejezés azt használja a „bar”. Például, a bár az összeg megegyezik az összeg a stroke. Tehát világos? Nos, ez jó.

Így a származékos számítás csökken megszabadulni a legtöbb ilyen mozdulatokkal szabályok a fent tárgyalt. Utolsó példaként, térjünk vissza a származékos mértékben racionális kitevő:

(X n) „= n · x n - 1

Kevesen tudják, hogy a szerepe n is szolgálhatja egy törtszám. Például, gyökér - egy x 0,5. És mi van, ha valami lesz a gyökér púpozott? Ismét kap bonyolult funkció - az ilyen konstrukciók, mint hogy a vizsgálatokat és ellenőrzéseket.

Feladat. Keresse meg a függvény deriváltját:

Kezdeni, átírjuk a gyökér, mint a hatalom racionális kitevő:

f (x) = (x 2 + 8 x - 7) 0,5.

Most, hogy a változás: legyen x 2 + x 8 - 7 = t. Találunk származék képlete:

f · t '= 0,5 · t -0,5 · t' '(x) = f' (t) · t '= (t 0,5)'.

Így az inverz cserét: t = x 8 + 2 x - 7. Van:

f „(x) = 0,5 · (x 2 + 8 x - 7) -0,5 · (x 2 + 8 x - 7) = 0,5 x (2 x + 8) · (x 2 + 8 x - 7) -0.5.

Végül térjünk vissza a gyökerekhez:

• Ingyenes Felkészülés a vizsgára 7 egyszerű, de nagyon hasznos tanulságokat + házi feladat
•